[MATH3610] Harmonic Analysis

第一节课

第一节课介绍了这节课使用的主要教材, 内容部分涵盖了这本书的前若干章, 简要介绍傅里叶分析的正确性, 各种意义上的收敛性等; 后半程则根据情况介绍调和分析的应用, 包括小波分析和组合学应用等.

傅里叶是在尝试解决固体热传导问题时, 为了解傅里叶热传导方程: , 提出将分解为 , 提出一组基本解, 从而假定所有的初始条件都可以分解为三角函数的和. 傅里叶方法提出的时候也是一众哗然, 缺少严格的数学证明, 直到 1966 年才有工作证明了逐点收敛性.

拿 Taylor series 作为更加熟悉的例子, , 在十八世纪, 数学家发现在传统微积分里的函数, 比如对数指数幂, 都能在各点有很好的收敛性, 直到 1821 年, Cauchy 给出反例 , 这个函数在的任意阶导数都为零, 所以展开式只在这一点收敛. 原因是在复数域上是它的奇点, 但是在实数域上是无穷次可微的. 类似地, 我们要发问: 已知傅里叶系数, 或者说一个函数在这组基上的投影, 能否重建原函数? 如果能重建, 收敛的速度如何呢?

对于第一个问题, 答案是肯定的, 如果重建的方法是 partial sum, , 是有反例不收敛的, Fejér 说使用前项和的平均可以重建原函数, 具体内容在教材的第四章, 等我看到了再补充具体内容.

第一节课吴老师举了一个具体的应用例子, 是 Weyl’s Equidistribution Theorem.

Weyl's Equidistribution Theorem:

取一个无理数 , 一个周期为的连续函数 , , 那么

,
, $𝟙$ .

第一问就是验证每一个傅里叶级数的基都是满足该极限的, 再利用 Fejér 求和说明任意函数可以用三角级数逼近; 第二问则是将第一问要求的连续函数换成了不连续的指示函数, 用线性函数上下夹逼即可.

吴老师说这是在 Weyl 做表示论的时候提出的该定理, 很难想象是啥表示论的难题需要这个…

第二节课

一开始吴老师回顾了在不同的群上, 时域和频域是什么: 比如在时域为上, 频域是 ; 在时域为上, 频域是 ; 在时域为上, 频域也是 ; 在时域为上, 频域也是 . 我们可以发现, 不管在什么群上, 都会出现这样的表示, 后面吴老师向我们推导了一般有限阿贝尔群上的傅里叶变换.

有一个有限阿贝尔群 , 我们需要找到一个群上的 “简单的信号” 组合. 我们考虑的对偶群 , 意思是群和复数乘法群的同态群, 即满足条件的函数构成的群. 很显然如果 , 那么 . 而且也是一个有限阿贝尔群, 其阶和相同. 因为是个循环群, 所以一定由单位根组成的 .

, 可以在上定义内积: .

先证明几个小性质: 取中的一个函数 , 如果为常函数 $𝟙$ , 那么 ; 反之, 则存在 , 使得 . 那么

下面可以很容易地得到对偶群里的正交关系: . 吴老师说这个叫做不可约表示. 所以傅里叶变化就是构建了算子 .

如果和在某种意义上相同, 我们可以研究傅里叶变换的特征值. 比如如果上, 特征向量是 . 今天讲有限阿贝尔群上的特征值.

取函数 , 做这个函数在上的分解, 因为 , 所以是上的一种表示.

带入内积

所以 , 特征值是 .

吴老师用矩阵的方法推有限循环群的傅里叶变换, .

那就是求中间矩阵的特征值. Schur 定理我们说, 这个矩阵的特征值是 , , , . 而且甚至重数也是确定的: , , , .

一个很重要的特征向量是:

取是一个奇素数 , , 函数是傅里叶变换的特征函数.

可以用欧拉判别法验证它的乘法性质 . 下面是它的傅里叶变换的性质:

(A) ;

时, . 因为 .
时, 换元 ,

(B) 高斯核函数:

最后一个等号成立是因为, 我们知道 , 这意味着在意义下会遍历二次剩余群两次, 因为 . 所以

综合这三条, 可以证明二次互反律: , 是奇素数, 那么 .

最后根据 Schur 定理计算矩阵的迹, 从而得证.

吴老师的碎碎念: 这个矩阵的迹高斯不会求, 但是我们的重点并不是用简单的方法来计算它. 高斯用了很多种方法去证明二次互反律, 这是他觉得最漂亮的结果, 所以给了很多的证明, 因为不同的证明意味着后面有不同非常深刻的推广, 最复杂的证明才有可能走到最深刻的数学里面去. 很简单的证明不一定比复杂的证明来的好, 因为简单的证明在一般的场景基本用不下去.

第三节课

今天主要围绕有限阿贝尔群上的傅里叶变换上的性质.

第一部分是卷积的性质. , 傅里叶变换给出了和的同构:

反过来, 傅里叶变换把逐点乘变成类似的卷积: . 实际上卷积算子是一个可交换代数, 且与同构, .

如果 , 也就是说是线性映射, 那么下面三个条件等价:

关于 translation 可交换, 即 , 其中 .
是卷积算子, 即存在 , 使得 .
中的每一个都是的特征函数, 即存在 , 使得 .

假设满足(1), 即 , 取任意函数 , , 那么

其中 .

假设满足(3), 即 . 对于一个函数 , 先做分解 . 那么:

其中 .

这里用到的想法是利用空间的两组基, 一组是常见的 delta function, 另一组是满足傅里叶反演的 character function.

从(1)推(3), 可以利用 delta function 构成基的特性, 将 translation 推展到任意函数, , 从而取 , 可以推出 , 这说明是的特征函数.

另一个有趣的结论是, 如果把卷积算子写成矩阵形式 , 它的迹可以用结论 (3) 来计算: .

下面话题进入了离散的泊松求和公式, 是在描述在一个 lattice 上定义的函数求和的一些性质. 首先是一个有限的阿贝尔群, 是它的一个子群, 对于商群上的函数 , 可以把它提升到上, , 其中是自然的投影映射.

当 , 由于投影映射是群同构, 对偶群也是群同构, 所以也是特征标. 泊松求和公式就是说, 函数定义在上, 那么它在子群上的求和和它在商群上的傅里叶变换求和是有关系的:

构建函数 , 观察它的傅里叶系数:

那么做傅里叶反演: .

设是陪集的代表元, 那么有:

下面介绍了一下不确定性原理 Uncertainty Principle. 见 Discrete Uncertainty Principle.

教材阅读

周期函数的傅里叶级数的收敛性:

连续性与收敛性

Theorem 1.1:

取二阶连续可导函数, , 其中是单位圆, 那么对于任意 , 部分和的极限

存在且一致收敛.

在上连续, 是指且 .

Proof:

函数的部分和定义如下: .

如果傅里叶级数系数和绝对收敛, 那么根据 Weierstrass M-test, 级数本身一定也收敛, 且是一致收敛的.

Weierstrass M-test:

设是定义在集合上的函数列, 如果存在数列使得对任意和任意 , 都有 , 且 , 那么在上一致收敛.

下面就是证明傅里叶系数绝对收敛. 可以用分部积分法对系数进行改造:

类似地, 我们有 . 所以对系数展开估计,

由于在上连续, 所以有界, 故而 , 对于任意的都成立.

从而傅里叶系数绝对收敛, 进一步原傅里叶级数一致收敛.

假定我们先承认 Fejér 定理, 即连续函数的部分和的 Cesàro 一致收敛于原函数, 那么我们可以得到:

Theorem 1.2:

, 那么一致收敛于 .

对于一个收敛的数列 , 有:

更强的结论是:

Theorem 1.2.2:

, 那么一致收敛于 .

衰减速度与光滑性

从式子 (1.1), 对于函数 , 可以对他求 k 阶导, 所以:

而如果傅里叶系数像同等速率衰减, 那是否说明 . 下面是一个的反例, 在上的指示函数甚至不是连续函数, , 但是傅里叶系数是的.

类似地, 我们可以仿照这个例子构造的反例. 但是, 下面这个定理及其推论表明, 这样的函数一定在里.

Theorem 1.3:

可积函数是以为周期, 且 . 如果 , 那么函数 .

推论:

如果对于和不考虑常数项 , 有 , 那么 . 如果是整数, 那么 ; 如果不是整数, 那么 .

Proof:

对做数学归纳法.
当时, 由上文所述定理, 先得到一致收敛到 , 其中, 是函数项级数, 每个函数都是连续的可以推出和函数也是连续的.

设函数定义在闭区间上, 并在一点上都连续, 若 , 则和函数在处也连续.
设 , 那么 , 根据一致收敛和连续性, 可以放缩到 .

再由 Fejér 定理和均值极限等式, , 所以 .

当时, 除了之外, 还有 , 这个依赖于这个结论:

为一组连续可微函数且一致收敛于函数 , 那么:

后面的归纳类似.

从上面可以知道, 对于连续可微函数 (换言之, 光滑的函数), 傅里叶级数都会快速地衰减到零. 如果限制条件只有连续呢, 下面的引理说明其傅里叶级数也会衰减到零.

Riemann-Lebesgue Lemma:

连续函数的傅里叶级数收敛至零, .

Proof for Lemma:

所以两式相加, 得到:

两边取范数, 有:

因为函数在闭区间上连续, 所以一致连续, 所以一致收敛到零, 所以可以交换极限和积分次序, 得到:

收敛速度与光滑性

根据上面的内容, 我们可以得到, 函数越光滑, 其傅里叶系数衰减越快, 那能否得到傅里叶级数收敛越快呢? 下面的定理给出了肯定的答复.

Theorem 1.4:

对于一个连续可微的函数 , 其中 , 那傅里叶级数的收敛速度是有保障的, 且不依赖于 :

如果 , 既 , 那么也是能保证的:

证明略. 下面给出一个逆定理的反例, 如果函数的部分和收敛速度符合式子 (1.2), 那么函数不一定在里, 甚至不在里.

函数如此设计: , 这个函数连续但是在处不可导. 所以不属于 (甚至不属于 ). 它的傅里叶系数如下:

所以 , 所以根据定理 1.3, 一致收敛到 , 对于残差有以下估计:

这构成了逆定理的一个反例.

总结与其他

根据定理 1.2 和定理 1.2.2 的内容, 我们可以知道, 周期函数的傅里叶级数的收敛性要求略强于连续, 但是弱于可微. 下面这个定理证明了这一点.

Theorem by Du Bois-Reymond, 1873:

存在一个连续函数 , 使得傅里叶级数的部分和在处不收敛.

跟进一步, 数学家证明了存在一个勒贝格可积的函数处处不收敛:

Theorem by Kolmogorov, 1926:

存在一个可积函数 , 使得傅里叶级数的部分和处处不收敛.

尽管他的构造是勒贝格可积的函数, 但是并不是连续函数, 实际上在任何一个区间内该函数都是无界的. 人们觉得这个结果离构造出连续函数的例子已经不远了, 直到半个世纪后, Carleson 于1966年证明了对于连续函数( 更强地, 是黎曼可积的函数 )或者平方可积的函数, 傅里叶级数几乎处处收敛. 而 Kolmogorov 的例子并不是平方可积的, 也不是黎曼可积的. 收敛性问题就此完结.

傅里叶变换的天堂

在非周期条件下的函数, 也可以定义傅里叶变换和傅里叶逆变换为:

那么傅里叶反演定理就是问, 在什么条件下, 成立.

我们可以逐步扩大积分范围, 先仅考虑函数在上的情况, 假设它是以为周期的函数, 假设的性质足够好, 那么展开的傅里叶级数收敛. , 这里系数为 . 可以做换元 , 且 , 那么可以重写为 , 其中 .

这个表达式像极了黎曼和, 但是这个函数内部和区间划分都和有关. 如果函数是紧支撑的, 即存在数 , 在区间外函数的取值都是零. 那么在充分大的情况下, 函数就与无关了. 那么我们也可以期待求和式也会收敛成积分式. 为了更加严谨, 我们需要给出性质"良好"的定义.

Schwartz Class

我们给出 Schwartz Class 的定义, 并在后文给出傅里叶反演定理在 Schwartz Class 上成立的证明. Schwartz Class 包含了各阶导函数都快速衰减的光滑函数, 即对于任意的整数 , 都有 . 容易验证, 这个条件与下面这个条件等价: . 这个函数空间对于很多操作都是封闭的, 例如乘法和求导, 以及和多项式函数的乘法, 以及卷积. 因为衰减的很快, 所以总是可积的.

值得注意的是, 如果仅仅是函数快于任何多项式函数衰减, 其本身可能并不属于 Schwartz Class, 例如 , 其导函数并不收敛. 下面是一些属于 Schwartz Class 的函数:

一个是存在紧支撑的函数: , 其光滑性容易验证. 另一个非常重要的例子是高斯函数 , 它的傅里叶变换是其本身: .

天堂之外

这一章将放松对函数必须是 Schwartz Class 的要求, 讨论快速衰减的连续函数, 已经用分布的角度去看更加一般的函数.

快速衰减的连续函数

定义: 连续函数 , 存在常数 , 使得对于任意 , 有 . 分母即要求在无穷远处衰减得足够快, 所以可积, 又要求在零附近有界. 这些函数一定属于 , 因为当时,

更高时同理.

缓增分布

我不知道这个 ( Tempered Distribution ) 的中文名是什么, 只能机翻了, 后面都用分布来替代.

分布是 Schwartz Class 上的一个连续线性泛函, 这个线性泛函构成的空间记为 , 这构成了 Schwartz 空间的对偶空间. 两个泛函在分布意义下相同是指对于所有的 , 有 . 一列泛函在分布意义下收敛是指 .

泛函的连续性需要更加详细的说明, 首先要定义上的收敛, 对于函数 , 对于任意自然数 , 都是有限的, 构成了半范数, 它是正的, 齐次的, 满足三角不等式的. 我们用这个定义上的函数收敛: 一列函数收敛到 , 当且仅当对于任意的 , 都有 .

从而定义泛函的连续性: 对于任意收敛到的函数列 , 都有 .

一个经典的分布构造是 . 这里只要求不是增长过快的函数即可. 如果是一个有界连续函数, 或者是多项式函数, 那么都是连续的, 从而构成一个分布. 并且由给出的映射是双射.

分布上的时域与频域的关系

以求导举例, 我们可以定义对分布的操作: .

下面举一个更加复杂的例子: .

首先我们有 .

所以 .

Delta Distribution

分布里有一些对象是无法用函数导出的, 最经典的例子是 Delta Distribution, 我们考察常函数 , 试着计算它在分布意义下的傅里叶变换:

其中最后一个等号成立是因为在 Schwartz Class 上傅里叶反演定理成立. 我们可以定义 Delta Distribution 为 . 容易证明它满足连续性, 所以确实是一个分布. 我们甚至可以计算它的傅里叶变换 :

下面我们来计算一下的各阶导数以及它们的傅里叶变换. 导数很容易计算 . 它的傅里叶变化为: , 所以在分布的意义下可以认为等于 .

接下来要验证本身恰好是 Heaviside 函数的导数 . 函数定义如下: , 它的分布意义下的导数为 , 这说明 . 类似地, 对于每一个分布, 虽然它本身可能并不是一个函数, 但是它一定是某个函数的若干阶导数.

另一个有趣的性质是是卷积的单位元, 即对于任意的 , 都有 .

Exercise: 离散版本的不确定性原理

Discrete Uncertainty Principle: 在一个有限阿贝尔群上, 实函数 , 那么该函数的支撑集和其傅里叶变换的支撑集大小满足以下不等式:

首先定义符号函数 , 可以观察每一项傅里叶变换的系数: , 两边同时取最大值:

这里用到了有限群上的 Parseval 恒等式: . 两边同时除以即可.