第一章: 线性代数概要
(Sylvester's inequality) , , 则有
用下面矩阵等式证明左侧不等式:
矩阵的张量积: 设 , , 则 定义为:
下面列举一部分张量积的基本性质:
- 结合律: .
- 分配率: .
- 保可逆: .
利用矩阵的张量积可以求一类线性矩阵方程问题:
其中 均为方阵, 是已知矩阵, 是未知矩阵.
为此引入两个操作, 设矩阵 , 将 的各列依次竖排得到 维的向量, 记为列展开 , 类似地, 行展开 .
其重要的性质是: . 证明如下:
先确定形状 , 拆解矩阵 .
那么 , .
而 形式简单, 可以直接写成 .
所以 .
只需解方程 .
(Cayley-Hamilton 定理): 矩阵 的特征多项式为 , 则有 .
首先需要伴随矩阵的性质: . 只需要展开 . 如果 , 那么 . 如果 , 那么可以视为 的第 行复制到了第 行, 所以等于 .
取 , , 那么 .
.
.
对比系数得到:
.
等式两边分别乘上 并相加, 得到 .
Sylvester 降幂: 设 分别是 的矩阵, , 则 .
使用下述分块恒等式:
所以矩阵 与 相似, 且非零的特征值相同.
设矩阵 无公共特征值, 则 .
记 , 那么 且 可逆. 这是因为 的特征值是 , 其中 是 的特征值, 而 无公共特征值, 所以 , 因此 可逆.
现设 , 那么 , 于是对于任意 , 均有 . 特别的, , 所以 .
思考题: 设 都是 的方阵, 由降幂公式知道 与 有相同的特征多项式, 这是否说明它们相似?
不一定相似, 相同的特征多项式不足以推出相似, 要求更强, 例如 Jordan 标准型相同, 或者最小多项式相同. 反例例如:
. 则 , . 它们的特征多项式都是 , 但是不相似.
实对称矩阵的复数推广是 Hermite 矩阵, 记为 . Hermite 矩阵的特征值均为实数, 且可以酉对角化, 即存在酉矩阵 使得 为对角矩阵. 设 为半正定矩阵, 那么存在唯一的半正定矩阵 使得 , 矩阵 也被称为 的平方根, 记为 或 .
证明: 设 . 知存在 和对角矩阵 与酉矩阵 , 使得 . 令 , 则 为半正定矩阵, 且 .
再证明唯一性. 设 均为秩为 的半正定矩阵, 且 . 设酉矩阵 使得 , 其中 为 阶正定对角矩阵. 则 . 上式表明 的后 列均为 , 而由于其半正定性, 其后 行也为 , 所以可以写为 , 这里 为 阶半正定矩阵. 于是 , 所以 , 因为 是正定的, 所以 .
一道习题: (Ky Fan Inequality) 设 均为正定矩阵, , 则 .
正定, 所以存在平方根 , 同样存在 . 设 , 则 也是正定矩阵. 于是 .
两边取行列式, 得到 . 设 的特征值为 . 又因为 是正定矩阵可以酉对角化, 所以 . 对右边依次放缩 .
所以 .
