第一章: 线性代数概要

(Sylvester's inequality) , , 则有

用下面矩阵等式证明左侧不等式:

矩阵的张量积: 设 , , 则 定义为:

下面列举一部分张量积的基本性质:

1. 结合律: .
2. 分配率: .
3. 保可逆: .

利用矩阵的张量积可以求一类线性矩阵方程问题:

其中 均为方阵, 是已知矩阵, 是未知矩阵.

为此引入两个操作, 设矩阵 , 将 的各列依次竖排得到 维的向量, 记为列展开 , 类似地, 行展开 .

其重要的性质是: . 证明如下:

先确定形状 , 拆解矩阵 .

那么 , .

而 形式简单, 可以直接写成 .

所以 .

只需解方程 .